Gruppentheorie

Von vielen erfahrenen Mathematikern wird die Gruppentheorie häufig als zentraler Bestandteil der Mathematik angesprochen. Es hat seinen Ursprung in der Geometrie, da die Geometrie Gruppen detailliert beschreibt. Die Theorie der Polynomgleichungen beschreibt auch das Verfahren und die Prinzipien der Assoziation einer endlichen Gruppe mit einer Polynomgleichung. Diese Zuordnung erfolgt so, dass die Gruppe Informationen codiert, die zum Lösen der Gleichungen verwendet werden können. Diese Gleichungstheorie wurde von Galois entwickelt. Die Theorie der endlichen Gruppen sah sich in der nahen Vergangenheit aufgrund der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen einer Reihe von Veränderungen gegenüber. Der wichtigste Satz bei der Ausübung der Gruppentheorie ist der Satz von Jordan Holder. Dieser Satz zeigt, wie jede endliche Gruppe eine Kombination mehrerer endlicher einfacher Gruppen ist.

Gruppentheorie ist ein Begriff, der hauptsächlich mathematikbezogene Bereiche wie algebraische Berechnungen verwendet. In der abstrakten Algebra werden Gruppen als algebraische Strukturen bezeichnet. Andere Begriffe algebraischer Theorien wie Ringe, Felder und Vektorräume werden ebenfalls als Gruppe angesehen. Natürlich akzeptieren Mathematiker mit einigen zusätzlichen Operationen und Axiomen diese als Gruppe. Die Methoden und Verfahren der Gruppentheorie wirken sich in großem Umfang auf viele Teile und Konzepte der Mathematik sowie der Algebra aus. Lineare algebraische Gruppen und Lügengruppen sind zwei Hauptzweige oder sagen Kategorien der Gruppentheorie, die so weit fortgeschritten sind, dass sie in ihrer eigenen Perspektive als Subjekt betrachtet werden können.

Die Gruppentheorie hat nicht nur Mathematik, sondern auch Wurzeln in verschiedenen physikalischen Systemen, insbesondere in Kristallen und Wasserstoffatomen. Sie können durch Symmetriegruppen modelliert werden. Man kann also sagen, dass die Gruppentheorie enge Beziehungen zur Repräsentationstheorie besitzt. Prinzipien und Ideen der Gruppentheorie werden natürlich praktisch in den Bereichen Physik, Materialwissenschaften und Chemie angewendet. Die Gruppentheorie wird auch als zentraler Schlüssel in den Studien und Praktiken der Kryptographie angesehen. In den 2000er Jahren wurden in der Zeitspanne von 1960 bis 1980 mehr als 10000 Seiten veröffentlicht. Diese Veröffentlichungen waren eine gemeinsame Anstrengung, um das Ergebnis als vollständige Klassifizierung unendlicher einfacher Gruppen zu gipfeln. Für die Praktiker und Lernenden der Mathematik oder sogar der Physik hat die Gruppentheorie eine große Bedeutung. Nicht alle Aspekte dieser Theorie werden in der Mathematik oder Physik verwendet. Aber es gibt einige Ideen und Prinzipien, die viel helfen, wenn Sie zur höheren Mathematikstufe aufsteigen. Ähnlich verhält es sich mit der Physik. Eine vollständige Anwendung dieser breiten Theorie ist ohnehin nicht auf ein einziges Thema möglich. Es wird jedoch in beiden Fällen teilweise angewendet und hinterlässt dennoch einen großen Einfluss.